AXIOMEN EN BEWIJSMETHODEN

Een van de fundamentele kenmerken van de wiskundige methode is het proces van het creëren van een reeks uitspraken met zorgvuldig opgebouwde puur logische argumenten, waarbij elke volgende schakel is verbonden met de vorige. De eerste vrij voor de hand liggende overweging is dat er in elke ketting een eerste schakel moet zijn. Deze omstandigheid werd duidelijk voor de Grieken toen ze in de 7e eeuw begonnen met het systematiseren van de reeks wiskundige argumenten. BC. Om dit plan uit te voeren hadden de Grieken ca. 200 jaar, en de overgebleven documenten geven slechts een globaal beeld van hoe ze te werk gingen. We hebben alleen nauwkeurige informatie over het uiteindelijke resultaat van onderzoek – het beroemde begin van Euclides (ca. 300 voor Christus). Euclides begint met een opsomming van de uitgangspunten waarvan de rest op een puur logische manier is afgeleid. Deze bepalingen worden axioma’s of postulaten genoemd (de termen zijn praktisch uitwisselbaar); ze drukken ofwel zeer algemene en ietwat vage eigenschappen uit van objecten van welke aard dan ook, bijvoorbeeld “het geheel is groter dan een deel”, of enkele specifieke wiskundige eigenschappen, bijvoorbeeld dat er voor twee punten een enkele lijn is die ze met elkaar verbindt. We hebben geen informatie over de vraag of de Grieken een diepere betekenis of betekenis aan de ‘waarheid’ van de axioma’s hebben gehecht, hoewel er enkele aanwijzingen zijn dat de Grieken, voordat ze bepaalde axioma’s accepteerden, ze enige tijd bespraken. In Euclides en zijn volgelingen worden de axioma’s alleen gepresenteerd als uitgangspunten voor de constructie van wiskunde zonder enig commentaar op hun aard.

Wat betreft de bewijsmethoden, deze werden in de regel gereduceerd tot het directe gebruik van eerder bewezen stellingen. Soms bleek de logica van het redeneren echter ingewikkelder. We zullen hier de favoriete methode van Euclides noemen, die in de dagelijkse praktijk van de wiskunde is ingevoerd – indirect bewijs of bewijs door tegenspraak. Als elementair voorbeeld van bewijs door tegenspraak zullen we laten zien dat een schaakbord waaruit twee hoekvierkanten zijn uitgesneden, gelegen aan tegenoverliggende uiteinden van de diagonaal, niet kan worden bedekt met dominostenen, die elk gelijk zijn aan twee vierkanten. (Aangenomen wordt dat elk veld van het schaakbord maar één keer bedekt hoeft te worden.) Stel dat de tegenovergestelde (’tegenovergestelde’) bewering waar is, dat wil zeggen: dat het bord kan worden bedekt met domino-botten. Elke tegel bedekt een zwart en een wit vierkant, dus waar de dominostenen zich ook bevinden, ze beslaan een gelijk aantal zwarte en witte vierkanten. Vanwege het feit dat de twee hoekvierkanten zijn verwijderd, heeft het schaakbord (dat oorspronkelijk evenveel zwarte vierkanten als witte vierkanten had) twee vierkanten meer van één kleur dan vierkanten van de andere kleur. Dit betekent dat onze aanvankelijke veronderstelling niet waar kan zijn, omdat het tot een tegenstrijdigheid leidt. En aangezien tegenstrijdige oordelen niet tegelijkertijd vals kunnen zijn (als een ervan onwaar is, is het tegenovergestelde waar), moet onze aanvankelijke veronderstelling waar zijn, want de tegenstrijdige aanname is onjuist; daarom kan een schaakbord met twee diagonaal uitgesneden hoekvierkanten niet worden bedekt met dominostenen. Om een ​​bewering te bewijzen, kunnen we dus aannemen dat deze onjuist is, en uit deze aanname een tegenspraak afleiden met een andere bewering waarvan de waarheid bekend is.

Een uitstekend voorbeeld van bewijs door tegenspraak, dat een van de mijlpalen werd in de ontwikkeling van de oude Griekse wiskunde, is het bewijs dat geen rationeel getal is, d.w.z. kan niet worden weergegeven als een breuk p / q, waarbij p en q gehele getallen zijn. Als, dan 2 = p2 / q2, vanwaar p2 = 2q2. Stel dat er twee gehele getallen p en q zijn waarvoor p2 = 2q2. Met andere woorden, we nemen aan dat er een geheel getal is waarvan het kwadraat tweemaal het kwadraat van een ander geheel getal is. Als er gehele getallen aan deze voorwaarde voldoen, moet een van hen kleiner zijn dan alle andere. Laten we ons concentreren op de kleinste van deze cijfers. Laat het het getal p zijn. Aangezien 2q2 een even getal is en p2 = 2q2, moet het getal p2 even zijn. Aangezien de vierkanten van alle oneven getallen oneven zijn en het kwadraat p2 even is, moet het getal p zelf even zijn. Met andere woorden, het getal p is twee keer zo groot als een geheel getal r. Aangezien p = 2r en p2 = 2q2, hebben we: (2r) 2 = 4r2 = 2q2 en q2 = 2r2. De laatste gelijkheid heeft dezelfde vorm als de gelijkheid p2 = 2q2, en we kunnen, met dezelfde redenering herhalen, aantonen dat het getal q even is en dat er een geheel getal s bestaat zodat q = 2s. Maar dan q2 = (2s) 2 = 4s2, en aangezien q2 = 2r2, concluderen we dat 4s2 = 2r2 of r2 = 2s2. Dit geeft ons een tweede geheel getal dat voldoet aan de voorwaarde dat het kwadraat ervan tweemaal het kwadraat van een ander geheel getal is. Maar dan kan p niet het kleinste getal zijn (aangezien r = p / 2), hoewel we aanvankelijk aannamen dat dit het kleinste getal is. Daarom is onze aanvankelijke veronderstelling onjuist, omdat deze tot een tegenspraak leidt en daarom niet bestaat.

speedcube kopen